[발췌] 점수 문제 (problem of points)

Material_WOF, chapter 1

출처 1: http://www.daejonilbo.com/news/newsitem.asp?pk_no=1232077; http://www.daejonilbo.com/news/newsitem.asp?pk_no=1232874

( ... ... ) 드 메레의 두 번째 문제는 '점수 문제(problem of points)'로 불린다. 게임에서 동일한 실력을 가지고 있는 두 사람이 같은 액수의 판돈을 걸고 게임을 하여 특정한 점수를 얻는 사람이 판돈을 모두 갖기로 했다. 그런데 불가피한 상황이 발생하여 게임을 중단했을 때 판돈을 어떻게 나누어 가져야 하는가 하는 문제다. 예를 들어 5점으로 슬패를 가리는데 두 사람의 점수가 4점, 3점인 상태에서 게임을 중단했다고 할 때 어떻게 판돈을 배분해야 하는가 ( ... ... )

"두 명의 참가자가 순수하게 운에 의한 게임을 하고 있고 각각 32개의 동전을 베팅한다. 세 번 연속으로 먼저 이기는 사람은 베팅된 동전 전부를 가질 수 있다. 게임을 세 번 한 후에 게임이 중단되었는데, 참가자 A는 두 번 이겼고 참가자 B는 한 번을 이겼다. 이 상황에서 어떻게 하면 두 사람이 동전을 공정하게 나눠 가질 수 있을까?"

페르마와 파스칼 둘 다 참가자 A와 B에게 각각 3 : 1의 비율로 동전을 나눠주어야 한다고 결론을 내렸지만 해결책을 찾아낸 방식은 서로 달랐다. 페르마는 확률과 관련된 답을 내놓았다. 두 참가자가 게임을 마무리 짓기 위해서는 두 번의 게임을 더 하는 것이 최선이다. 이 경우 네 가지의 결과 ⅰ) A승, A승, ⅱ) A승, B승, ⅲ) B승, A승, ⅳ) B승, B승가 나올 수 있다. 이 중 제일 마지막의 경우에만 참가자 B가 게임 전체의 승자가 된다. 그러므로 B는 1/4의 확률을 가지며 베팅된 금액의 1/4을 받는 것이 옳다.

파스칼은 기댓값에 근거해서 해결책을 내놓았다. 게임을 한 번 더 해서 A가 이긴다면 A는 세 번 이긴 것이 되므로 베팅된 동전 64개를 모두 갖게 된다. 하지만 B가 이긴다면 A와 B가 두 번씩 이긴 것이 되므로 두 사람이 각각 32개의 동전을 받을 수 있는 자격을 갖게 된다. 따라서 참가자 A는 이기건 지건 32개의 동전을 받게 되어 있다. 남아 있는 32개의 동전은 이기는 사람이 차지하겠지만 누가 이길지는 알 수 없다. B가 다음 게임에서 이길 확률은 1/2이므로 남아 있는 동전의 반인 16개의 동전을 가져야 한다. A 또한 다음 게임에서 이길 확률이 1/2이므로 나머지 반인 16개의 동전을 받아야 한다. 다시 말해, 참가자 A는 48개의 동전을 받고 참가자 B는 16개의 동전을 받아야 하는 것이다. 이러한 방식으로 드 메레가 제시한 물음에 답하였다. 저명한 수학자의 답이니 수학적으로는 무리가 없겠으나 필자 개인적으로는 위의 해법에 대해서는 이상하다는 느낌이 들기는 한다. 예를 들어 1000점으로 승부를 가리는 게임에서 A와 B의 점수가 각각 999점과 998점이라고 하자. 이 경우 역시 승부를 가리기 위해서는 최대 두 번의 게임이 더 이루어져야 하므로 점수가 2점과 1점인 경우와 동일하게 판돈을 3 : 1의 비로 나누게 된다. A와 B가 999점과 998점으로 팽팽한 승부를 펼쳤는데도 여전히 A와 B의 판돈 분배의 비를 3 : 1로 하는 것은 1승만을 더 많이 하고 있는 A에게 지나치게 유리한 결정으로 보이는 면이 있다. A와 B의 점수가 2 : 1이나 999 : 998이라는 사실에 주목하여 비례적 사고를 하면 판돈을 3 : 1로 분배하는 것이 불합리하게 보일 수 있으나, 3 : 1의 분배가 수학적으로는 정확한 결론이라고 한다.


자료 2: http://mathforum.org/isaac/problems/prob1.html

Archaeologists have found evidence of games of chance on prehistoric digs, showing that gaming and gambling have been a major pastime for different peoples since the dawn of civilization. ( ... ) Surprisingly, it wasn't until the 17th century that a rigorous mathematics of probability was developed by French mathematicians Pierre de Fermat and Blaise Pascal.

The problem that inspired the development of mathematical probability in Renaissance Europe was the problem of points. It can be stated this way:

Two equally skilled players are interrupted while playing a game of chance for a certain amount of money. Given the score of the game at that point, how should the stakes be divided?

In this case 'equally skilled' indicates that each player started the game with an equal chance of winning, for whatever reason. For the sake of illustration, imagine the following scenario.

Pascal and Fermat are sitting in a cafe in Paris and decide, after many arduous hours discussing more difficult scenarios, to play the simplest of all games, flipping a coin. If the coin comes up heads, Fermat gets a point. If it comes up tails, Pascal gets a point. The first to get 10 points wins. Knowing that they'll just end up taking each other out to dinner anyway, they each ante up a generous 50 Francs, making the total pot worth 100. They are, of course, playing 'winner takes all'. But then a strange thing happens. Fermat is winning, 8 points to 7, when he receives an urgent message that a friend is sick, and he must rush to his home town of Toulouse. The carriage man who has delivered the message offers to take him, but only if they leave immediately. Of course Pascal understands, but later, in correspondence, the problem arises: how should the 100 Francs be divided?

In a letter to Pascal, Fermat proposes this solution: ( ... ... )

⇒ Pascal's response and generalization of the Problem of Points