Dic: ─자고

어미.

■ ((동사 어간 뒤에 붙어))
「1」해할 자리에 쓰여, 자신의 생각이나 주장을 청자에게 강조하여 일러 주는 뜻을 나타내는 종결 어미.

• 같이 가자. 함께 가자고.

「2」해할 자리에 쓰여, ‘너의 말이나 생각이 이런 것이냐?’ 하는 뜻으로 묻는 데 쓰는 종결 어미. 빈정거리거나 거부하는 뜻을 나타낼 때도 있다.

• 나도 같이 가자고?
• 그 일을 함께 하자고?

.... 표준국어대사전(국립국어원)

■

1. 제안하는 내용으로 표현된 내용을 간접적으로 옮김을 나타냄.

• 갑:밥 먹으러 가자.
  을:쟤가 뭐라고 하니?
  병:밥 먹으러 가자고 하는데.
• 갑:언젠가는 꼭 밝혀 냅시다.
  을:뭐라고 했어요?
  갑:언젠가는 꼭 밝혀 내자고 했어요.

2.
ㄱ. [제안하는 내용절을 요구하는 일부 동사 앞에서 누가 무엇을 어찌할 때, ‘무엇을’에 해당하는 것을 나타내는 데에 쓰이어] ‘-ㄹ 것을’의 뜻을 나타냄.

• 친구에게 단풍 구경을 가자고 청하는 편지다.
• 그녀는 그의 마음을 달래 주기 위해 바둑을 한 판 두자고 제안했다.
• 달리는 차 안에서 현주가 호텔로 돌아가자고 말한 후, 곧바로 바닷가 장면이 나왔다.
• 언젠가는 반드시 알아내자고 굳게 결심했다.

ㄴ. [누가 무엇을 어찌할 때, ‘무엇을’에 해당하는 내용절을 나타내어] ‘-려고’의 뜻을 나타냄.

• 이는 나를 잡아가자고 하는 수작이 아니냐.

.... 연세한국어사전